水处理多孔填料的分形特性和分数维

龙腾锐，方芳，郭劲松，成一知?
（重庆建筑大学城市建设学院，重庆400045）

　　摘　要：将分形和分数维概念用于水处理多孔填料表面特征和微孔结构的研究，并通过对酶促生物填料测试数据的分析证明：多孔填料的表面和微孔结构具有典 型的分形特征，其面积分数维越大，填料表面越粗糙；其容积分数维越大，微孔占有空间的能力越强。因此，该方法为多孔填料的开发研究和性能分析提供了一种新思路和新方法。?
　　关键词：分形；分数维；多孔填料?
　　中图分类号：X703
　　文献标识码：A
　　文章编 号：1000-4602(1999)12-0010-04

The Fractal Nature and Fractal Dimensions of Porous Media Used in Water Treatment?
LONG Teng-rui，FANG Fang，GUO Jing-song，CHENG Yi-zhi
(Faculty of Urban Construction,Chongqing Jianzhu Univ.,Chong qing 400045,China)?

　　Abstract：Fractal and fractal dimensions are introduced into the research on the surface character and micropore structure of porous media used in water and wastewater treatment. By the analysis of the test data of enzyme-promoting biol ogical media, it has been proved that the surface and micropore structure are of typical fractal nature. The larger the fractal dimensions of area become, the r ougher the surface of the media is, and the larger the fractal dimensions of vol ume become, the ber the ability of the space expansion of micropore is. The refore, it provides a new thinking and a new method for research, development an d performance analysis of porous media.?
　　Keywords:fractal;fractal dimensions;porous media

　　 目前用于描述填料几何大小、形状的参数主要有粒度、形状因子等，用于评价其性能的指标主要有比表面积、空隙率、体积质量、松散容重、机械强度等。这些参数和指标几乎都是在宏观或中观尺度上，在对多孔填料表面和孔内部作了许多非真实的假设和简化后，对填料形状及特性进行定性或定量的描述。而在微观尺度上的研究尚少，尤其是在定量地描述多孔填料的表面粗糙度和微孔结构等特征方面。事实上，填料的这些特征对其性能的影响非常大。本文运用分形理论对多孔填料的表面粗糙度和微孔结构进行研究，以探讨多孔填料微观特征描述的新方法。?

1 分形的有关概念

　　 欧氏几何以规整几何图形为研究对象，它们的空间维数均为整数，如点、线、面、体分别为0、1 、2、3维。事实上，自然界中存在着大量不规则的物体，分形论就是以分数维来表征这一广 泛存在的、无序、复杂、奇异的一大类客体。1975年，罗德布罗特(Mandelbrot)在总结了自然界中的非规整几何图形后，第一次提出分形的概念，但迄今为止对分形尚未有严密的定义。
　　 分形有两个重要特征：自相似性和标度不变性。自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者是某系统结构的局域性质与整体性质相类似^［１］。统计意义下的自相似性只存在于一定标度(尺度)范围内，其两端常受到某种特征尺度的限制，在此范围之外，就不是分形了，具有自相似性的范围称为无 标度空间。所谓标度不变性是指在无标度空间中具有分形特征的研究对象的性质与尺度无关。换而言之，是指在研究对象上任一局部区域，只要是属于无标度空间范围，不论将其放 大或缩小，它的形态、复杂程度、不规则性都与原来的研究对象一样。?
　　自相似性与标度不变性是密切相关的。具有自相似性的图形或结构，一定满足标度不变性，而分形的性质只存在于无标度空间内。?

2 确定分形维数的方法

　　为了定量描述包括非整数值在内的维数，豪斯道夫(Hausdorff)在1919年提出连续空间的概念，也就是空间维数不是跃变的，而是可以连续变化的，可以是整数，也可以是分数，通过 计算来确定维数，称为豪斯道夫维数。曼德布罗特把豪斯道夫维数称为分维，记为D。对于一个D维的几何对象，若每一维的尺度都放大L倍，则这个几何对象相应地放大K倍，且D、L 和K三者之间的关系应满足：
?　　　　L^D=K 　　　　　　　　　　　(1)?
　　两边取对数，有：?
?　　　　D=lgK/lgL　　　　　　　　 (2)?
　　 反之，从缩小几何对象的角度可以考虑把一个D维的几何对象等分为N个小的几何图形，则每个小的几何图形相应地缩小r倍，且D、r和N三者之间应满足：?
?　　　　N·r^D=1 　　　　　　　　　(3)?
　　两边取对数，有：
?　　　　D=lgN/lg(1/r) 　　　　　　(4)?

　　 上述两种定义实际上是相同的，只是形式稍有不同，这里D不一定是整数，对于分形结构而言，其维数一般是分数。?
　　从测量学的角度也可以定义分维。假定一个单位面积的正方形与一个单位体积的立方体分别为半径r的圆盘与球体填充，则所需填充单元的数目N(r)有(在r相当小时)：?
　　 当D=2时，N(r)·πr²=1，所以
　　　　?N(r)∝_r^-2 (5)
　　当D=3时，N(r)·4/3πr³=1，所以?　
　　　　N(r)∝r^-3 (6)?
　　上两式表明所需填充单元(圆盘或球体)的数目与物体的维数成指数关系，于是对分数维体数为D的分数维体应当有：?
　　　? N(r)∝rL^-D?　　　　　　　　　　　　?(7)?
由上式可知，如果能够由实验测定填充单元数目随填充单元大小的变化规律，即可用lgN(r)—lgr图上的斜率确定特体的分数维数。

3 多孔填料的分形与分数维特征分析

3.1 多孔填料的来源及分形特征
　　以我校研究开发的一种酶促生物填料作为分析研究对象，测试数据摘自中国科学院成都有机化学研究所对该种填料的分析测试报告。?
　　对多孔填料而言，传统方法是将孔或填料本身假设为球形或柱形来研究其表面及容积特性，即作为规整几何形状进行研究。而事实上，填料表面和微孔都是极不规整的，填料中孔的表 面可以看作是高度不规则的分数维体，其内部根本不存在光滑的孔壁，大孔的孔壁是由小孔和固体组成的分数维表面，而小孔的孔壁又是由微孔和固体组成的分数维表面。因此，水处 理多孔填料实际上具有显著的分形特征。?
3.2 多孔填料无标度空间的确定
　　由分形的有关概念可知，要确定多孔填料的分形特征，首先要确定无标度空间的范围，而此范围的确定，在本研究中取决于两个方面。其一由分形现象本身决定，这有赖于建立多孔填 料分数维模型及用模型模拟结果的精度来判别空间确定是否合理和适当。其二由多孔填料的工艺用途决定。有关研究表明，填料表面有孔与否及其粗糙程度可影响附着微生物量，从而影响反应器的性能。Murray认为对于无孔填料，生物膜的生长主要是填料表面缝隙里微生物生长的作用，对于多孔填料，微生物的生长主要取决于孔径尺寸和空隙率；Anderson研究了多 孔填料和无孔填料与反应器有机负荷、生物量之间的关系，结果表明，填料表面越粗糙，填料上生物膜附着速率和生物量累计速率越快，且多孔填料上由于剪力而造成的生物量损失比无孔填料少，因而装有多孔填料的反应器在较高有机负荷时，能保持较高的稳定性和较好的性能^［２］。Messing确信，为了得到较高的固定细胞密度，至少70%的孔径应为一个细菌细 胞的1～5倍；而Wang发现，孔径为细菌平均直径的2～5倍时可产生最大的固定细胞密度；Murray的研究表明，当多孔填料的孔径为微生物尺寸的1～5倍时有最佳的生物量积累。因此在本研究中，多孔填料的有效孔径取细菌尺寸的1～5倍，而废水处理中细菌的大小一般为0.5～5μm^［３］，故有效孔径的直径为0.5～25 μm,并将此作为无标度空间。?
3.3 多孔填料分数维的计算
　　由上述分析可知，为了研究多孔填料的分数维特征，获得分数维值，关键是获得式(7)在非拓扑空间的应用表达式。对于多孔填料，若用比表面积和汞压入的体积来代替N(r)，那么， 对于建立在单分子吸附层理论基础上测得的比表面积S，有：?
?　S＝σ.N(r)＝πγ².N（γ），所以
　　N=（γ）∝^2-D （8）
　　对于建 立在压汞法理论基础上测得的汞压入体积V，有：

　　V=U.N（γ）=4/3πγ²N（γ），所以
　　N=（γ）∝^3-D 　　　　　　　　（9）
　　式中　σ——吸附质分子截面积
　　　　　U——填充物单元体积

　　这样推广到一般，有：

　　A=∝r^e-D （10）
　　式中　A——在某拓扑维数的空间中测定的几何容量性质
? 　　　r——测量尺度?
　　　　E——拓扑维数?
?　　　D——分数维数?
　　由式(8)可知，只要利用回归分析方法确定lgS—lgr的关系，就可以由直线的斜率求得多孔填料的面积分数维值，其计算分析结果如表1所示。

　　图1为填料1的lgS----lgr图，其余的与之类似。

　　由式(9)可知，只要利用回归分析方法确定lgV—lgr的关系，就可以由直线的斜率求得多孔填料的容积分数维值，其计算分析结果如表2所示。

　　图2为填料1的lgV——lgr图，其余的与之类似。

3.4 讨论
　　从表1和表2可知，多孔填料的表面和微孔结构都具有典型的分形特征。由分数维的物理意义可知，面积分数维值D_S越大，意味着多孔填料的表面越粗糙；容积分数维值D_V越大，意味着微孔占有空间的能力越强。而且从得到的数据可知，面积分数维值D_S和容积分数维值D_V有良好的相关性，即微孔占有空间的能力越强，多孔填料的表面越粗糙。?
　　分数维作为表征多孔填料表面粗糙程度和微孔结构变化的物理量，一方面可用来研究骨料的配比、发泡剂的含量、烧成温度、升温速度和降温速度等对多孔填料上述性能的影响，另一方面也可用来研究填料上生物膜量与多孔填料表面粗糙程度和微孔结构变化的定量关系，为填料的研究提供了一种新思路和新方法。?
　　多孔填料微孔特征和表面的分数维可以用压汞法简便地求得，但值得注意的是，多孔填料的微孔并非按严格的数学规则生成，而是在制造过程中随机地生成。因此，多孔填料只是在统计意义上满足自相似性和标度不变性这两大分形基本特征。采用压汞法求得的分数维值虽然不是精确的、绝对的分数维值，但这种测试方法仍然具有相当大的可靠性和相当重要的意义。?

4 结论

　　 分形是描述高度不规则的物体表面的有力物理工具，本文运用分形和分数维的有关概念，讨论了多孔填料分形特征和分数维计算的方法，并进行了相应的计算分析，结论如下：
　　①多孔填料的表面和微孔结构存在典型的分形现象，可以用压汞法测定其分数维。?
　　②对研究所采用的多孔填料，面积分数维D_S为3.56～3.73，容积分数维D_V为3.78～3.90。?
　　③多孔填料的分形特征及分数维为研究填料的烧制和填料的性能提供了新思路和新方法。 ??

参考文献：?

　　［1］张济忠.分形［M］.北京：清华大学出版社，1995.
　　［2］Anderson G K et al.Comparison of porous and non-porous media i n upflow anaerobic filters when treating dairy wastewater［J］.Wat Res，1994. ?
　　［3］许保玖，龙腾锐等.当代给水与废水处理原理［M］.北京：高等教育出版社，1991.

　　作者简介：龙腾锐(1939- )，男，湖南新邰人，重庆建筑大学教授，硕士，主要研究方向为水污染控制规划和废水处理。
　　电　话：(023)65120235?
　　传　真：(023)65120810?
　　收稿日期：1999-05-04