滤池气水反冲洗时排水浊度变化的数学模式

刘俊新 　 李圭白

　　摘　要：本文分析了滤池气水反冲洗时池内浊度的变化情况，并推导出气水反冲洗时排水浊度变化的数学模式。根据试验结果确定出去除污物的速度常数K值，而且提出了最佳的气水反冲洗历时。 　　
　　关键词： 滤池；气水反冲洗；排水浊度；数学模式

The Mathematical Model of the Changes of Drainage
Turbidity in the Filter during Simultaneous
Air Scour and Water Backwash
Liu Junxin and Li Guibai

　　Abstract This Paper dealt with the changes of drainage turbidity in the filter during simultaneous air scour and water backwash, and a mathematical model of the changes of drainage turbidity was derived. According to the results of tests, the velocity constant K of cleaning the deposited material from the filter media, and optimum backwashing time are proposed.
　　Keywords filter, air scour and water backwash, drainage turbidity, mathematical model.

　　滤池在反冲洗期间，排水浊度是随时间而变化的。了解它的变化规律，有助于确定最佳反冲洗历时。日本的藤田贤二描述了单独水冲洗时的两种模型：完全混合式和推移流出式模型^[1]．但是，由于气泡上浮速度较快，因此我们认为，在每个滤头上面可分为两个完全混合区域，即滤料层和水层区域。

1．气水反冲洗时排水浊度的变化规律

　　为了从理论上推导出排水浊度的变化规律，将每个滤头分为一个格，如图1所示。并　 假设：① 整个滤料层截留杂质是均匀的；② 反冲洗时滤料层内的水是向上垂直流动；③水层内的水是水平流动；④在每个格内，滤料层为一个完全混合区，水层为一个完全混合区。

图1 排水模型示意图

1.1 滤料层流出水的浊度变化

　　设ζ_s——滤层内水的浊度(kg/m³)；
　　　W——平均单位体积滤料中含有的杂质量(kg/m³)
　　　L_s——滤层厚度(m)； 　　　
　　　μB——环闯冲洗速度(m/s)；
　　　A——每个格的面积(m²)。
　　 则dt时间从滤层中流出的杂质量为ζ_s u_BAdt；滤料层的杂质变化为 -AL_sdW
　　　因此
　　 　　　　　　　ζsuBAdt=-ALsdW
　　 　　　　　　　ζs =Ls/uB×[dW/dt]
　　从滤料层流出的杂质量应与该时刻滤料层所含有的杂质量成比例，设K是一个不随时间变化的比例常数，则 　　
　　将上式在t=0时，W=W₀的条件下进行水解，得　　　　　　　　　　
　　式中　Wo——冲洗前平均单位体积滤料中含有的杂质量(kg/m³)； 　　　　　　　　　　
　　　　　W=W0e-Kt——反冲洗时间(s)
　　　　　　　　　　　dW/dt=KW 　(2)
　　　　　　　　　　　W0AL=TA 　 (3)
　　设T为反冲洗前平均单位面积滤池所截留的杂质量(kg/m³)，则
　　　　　　　　　　　W=W₀e^-Kt
　　　　　　　　　　　W=[T/Ls]e-Kt　　　　　(4)
　　因此

　　　　　　　　　　　ζs=[(KT/uB)]e^{-Kt　　　(5)}

　　由于滤层截留杂质是均匀的，所以在同一时间每格滤层浊度变化是相同的。
1.2 水层内浊度变化
　　1) 第一格水层内浊度变化
　　设ζ_w1一第一格水层内的浊度(kg/m³)；
　　　L_w－－－冲洗时水层厚度(m)。
　　dt时间内从滤层流入的杂质量为t_su_BAdt；dt时间内从第一格水层流出的杂质量为τ_w1u_BAdt；水区内杂质的变化量为AL_wdτ_w1。则

　　(6)

　　将式(5)代人上式，得
　　　　　　　　　　　　　 　[dτ_w1/dt]+[uB/L_w]τ_w1＝[(KT/Lw)]e^-kt　　　　(7)
　　
　　当u_B¹KL_w时，解此方程得

　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　(8)

　　当u_B=KL_w时，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　(9)

　　2）第二格水层内浊度变化

　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(10)

　　设τ_w1为第二格水层内水的浊度，则dJ时间内从滤层流人的杂质量为t_su_BAdt；dt时间内从第一格水层流人的杂质量为τ_w1u_BAdt；dt时间内从第二格水层流出的杂质量为2τ_w2u_BAdt；水区中杂质的变化量为AL_wdτ_w2。

　　　　　　　　　　　　　　　　τ_w2=[KT/(uB-KLw)(e^-Kt-e^{-(uB/Lw)t　　　　　　(11)}

　　当u_B≠KL_w时，将式(5)和式(8)代人上式可解得

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(12)

　　当u_B=KL_w时，将式(5)和(9)代人式(10)可解得
　　3) 第三格水层内浊度变化
　　设τ_w3为第三格水层内水的浊度，则dt时间内从滤层流入的杂质量为t_su_BAdt；dt时间内从第二格流出的杂质量为2τ_w2u_BAdt；dt时间内从第三格流出的杂质量为3τ_w3u_BAdt；水区中杂质的变化量为AL_wdτ_w3。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　(13)　　　

　　当u_≠KL_w时，将(5)和(11)代入上式可解得

　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　(14)

　　　　　　　　　　　　　　　τ_w3=[KT/Lw]te^-Kt=τ_w1　　　　　　　　　　　　　　　(15）

　　当u_B=KL_w时，将(5)和(12)代人(13)可解得
　　同理可得出

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(16)

　　由以上的分析中可看出，气水反冲洗时，整个水层内浊度变化规律是一样的，因此气水反冲洗可认为是完全混合式排水方式。

2．最大排水浊度及其出现时间的确定

　　由可求出dτw/dt=0出现最大浊度的时间和最大浊度。

　　　　　　　　　

　　当u_B≠KL_w时，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　当u_B=KL_w时，　　τw=[KT/Lw]te^-Kt 　　　　　　　　(18)

　　　　　　　　　　tmax=1/K 　　　　　　　　　　 　　(19)

3．K值的确定

　　在式(2)中，K是一个不随时间变化的常数。但是，K值是受到反冲洗方式和反冲洗速度影响的。在单独水冲洗时，藤田贤二建议采用K=9.0´10³左右^[1]。在气水同时冲洗时，气水产生的速度梯度以及颗粒的碰撞次数都远大于单独水冲洗时产生的速度梯度和碰撞次数，因此，气水同时冲洗时将颗粒上的污物剥落下来的速度也大于单独水冲洗时的速度。这时若再采用K=9.0´10³来计算气水同时冲洗的t_max和t_wmax。将会引起较大的误差。因此，我们用滤池模型进行了过滤一反冲洗试验，模型的长´宽´高=2.0´ 0.12´1.25m。试验时，装置内砂滤料厚度为40cm左右，粒径为0.5~1.2mm，采用气水反冲洗。

表1 气水反冲洗试验结果统计表

序号

单位面积滤池截留杂质量T(g/m)

冲洗时砂面上水深L_w(m)

水反冲洗速度u_B(m/s)

气反冲洗强度（L/s.m²）

排水最大浊度t_wmax (g/m³)

最大浊度出现时间t_max (s)

K值

1

428.7

0.603

0.0051

9.57

560

30

0.094

2

610.8

0.603

0.0050

9.00

800

30

0.093

3

487.4

0.603

0.0051

9.74

632

30

0.090

4

605.8

0.607

0.0054

12.61

700

60

0.054

5

649.5

0.570

0.0055

12.17

760

45

0.048

6

556.1

0.570

0.0055

12.17

720

45

0.075

7

501.5

0.583

0.0055

12.30

640

30

0.076

8

562.9

0.580

0.0055

12.17

736

60

0.084

9

534.4

0.590

0.0055

10.22

664

30

0.070

　 续表　　　　　　　表1 气水反冲洗试验结果统计表　

序号

单位面积滤池截留杂质量T(g/m)

冲洗时砂面上水深L_w(m)

水反冲洗速度u_B(m/s)

气反冲洗强度（L/s.m²）

排水最大浊度t_wmax (g/m³)

最大浊度出现时间t_max (s)

K值

10

451.1

0.577

0.0055

10.35

560

30

0.064

11

507.0

0.570

0.0054

11.09

640

30

0.065

12

501.0

0.573

0.0054

10.78

592

45

0.051

13

446.5

0.577

0.0054

11.30

600

45

0.094

14

335.3

0.576

0.0054

11.30

384

30

0.045

15

295.8

0.572

0.0054

11.30

360

45

0.056

　　表1为气水反冲洗试验结果统计表，其中K值是将试验数据代人式(18)中计算出来的。根据各组试验结果，K值在0.045~0.094之间，其平均值为0.071。因此，对于气水反冲洗滤池，可选用K=0.071左右。

4．反冲洗结束时间及最终浊度

4.1 反冲洗结束时间
　　反冲洗时间是滤池的重要的操作指标之一。对于单独用水反冲洗，我国设计规范^[2]中已有具体的规定，而对于气水反冲洗时间却没有规定，主要是根据试验来确定。为了能从理论上来确定气水反冲洗的结束时间，以便于设计，我们根据前面推导出的排水浊度变化规律求出排出杂质量的90％和99％所需要的时间。
　　从0时刻至t时刻之间所排出的杂质量为
　　设排出截留杂质量的90％和99％的时间分别为，t₉₀和t₉₉，它们可分别由下面两式求出：

　　　　　　　　　　　　=0.99AT

　　当u_B≠KL_w时，可得

　　　　　　　　　　　　　　　　（22)

　　当u_B=KL_w时，可得

　　　　　　　　　　　[(1/K)+t₉₀]e^-kt90=[1/K-0.9(Lw/uB)] 　　　　(23)
　　　　　　　　　　　[(1/K)+t₉₉]e^-kt99=[1/K-0.9(Lw/uB)]

　　将K=0.071代入式（21）~（24），并以L_w/u_B和t为横、纵坐标绘图，结果见图2。对于某一滤池，L_w/u_B是一定的，从图2中可查出该滤池气水反冲洗时t_max，t₉₀和t₉₉的值。
4.2 最终浊度
　　将K=0.071以及t₉₀或t₉₉代人式(8)和(9)，可求出排出截留杂质的90％或99％时的浊度t_w90或t_w99，计算结果列于表2。从表2中可以看出，理论值与实测值基本符合，只是t_w90和t_w99的理沦值略低于实测值，对于t_max，有个别的实测值与理论值相差较大，这是因为在试验中有一部分试验的取样间隔为15s，另一部分取样间隔为30s，而反冲洗开始时排水浊度变化迅速，并很快达到最大值，因此由于取样间隔造成的误差使个别的实测值与理论值相差较大。
4.3 反冲洗结束时间的确定
　　反冲洗结束时滤池内水的浊度是控制反冲洗时间的重要因素，浊度过高会使初滤水水质很差。为了能准确地确定反冲洗结束时间和该时滤池内水的浊度，我们将表2中第7，11，12三组试验条件相似的实验数据绘于图3中，并将K=0.071(气水同时冲洗时的K值)和K=9.0×10^-3(单独用水冲洗时的K值)分别代人式(8)，所得t_w—t关系曲线也绘于图3中。
　　从图3中可以看出，当反冲洗时间低于1 80s时，气水同时反冲洗的理论值与实测值基本符合；当反冲洗时间在210s至390s之间时，实测值逐渐偏离气水同时冲洗理论值，介于气水同时冲洗理论值与单独水冲洗完全混合式理论值之间；当反冲洗时间大子420s以后，实测值与单独水冲洗理论值相符合。上面的现象说明，当，t<180s时，气体将滤料上的污物剥落为主要因素，而水向滤池外输送剥落下来的污物相对来说是次要的。气泡从滤层进入水层时，尾迹也可将部分剥落下来的污物带入水层中，但要排出滤池，则需要水的作用。因此，在很短的时间内既可达到t_wmax。当t=210~390s时，由于滤层内污物的减少，部分气体开始做无用功，水向滤池外输送污物逐渐变得重要。当t>420s时，气体基本不起作用，而主要靠水向滤池外输送杂质，因此，此时实测值与单独水冲洗理论值相符合。

表2 理论与实测值对照表

序号

T

(g/m3)

L_w

(m)

u_B

(m/s)

气冲强度

(L/s.m²)

t_max(s)

t_wmax(g/m³)

t₉₉

(s)

t₉₉(g/m³)

t₉₀

(s)

t_w90(g/m³)

实测

计算

实测

计算

实测

计算

实测

计算

实测

计算

实测

1

428.7

0.603

0.0051

9.57

30

34

560

533

559

30

7

287

108

70

2

610.8

0.603

0.0050

9.00

30

34

800

762

570

33

10

293

160

103

3

487.4

0.603

0.0051

9.74

30

34

634

606

560

30

8

287

140

80

4

605.8

0.607

0.0054

12.61

60

33.4

700

741

533

38

10

274

150

101

5

649.5

0.570

0.0055

12.17

45

32.5

760

832

492

30

11

254

192

116

6

556.1

0.570

0.0055

12.17

45

32.5

720

713

492

30

10

254

200

99

7

501.5

0.583

0.0055

12.30

30

32.8

640

631

503

(465)42

9

259

110

85

8

562.9

0.580

0.0055

12.17

60

32.7

736

712

501

(465)53

10

258

180

98

9

534.4

0.590

0.0055

10.22

30

32.9

664

666

509

(465)81

9

262

200

90

10

451.1

0.577

0.0055

10.35

30

32.7

560

573

498

(465)34

8

257

140

80

11

507.0

0.570

0.0054

11.09

30

32.7

640

652

501

(465)55

9

258

155

88

12

501.0

0.573

0.0054

10.78

45

32.8

592

642

504

(465)50

9

260

120

90

13

446.5

0.577

0.0054

11.30

45

32.9

600

569

507

(450)42

8

261

88

77

14

335.3

0.576

0.0054

11.30

30

32.9

384

427

506

(465)38

6

261

87

59

15

295.8

0.572

0.0054

11.30

45

32.8

360

380

503

(450)43

5

259

78

52

　　　　　注：7~15组试验的反冲洗时间为465s，括号右边的数值是与括号内时间相对应的浊度。
　　由以上的分析可知，气水同时反冲洗时间最好控制在5~6min左右。

5．结论

　　根据理论推导及试验结果我们认为，滤池气水反冲洗时排水方式为完全混合式，将滤料上的污物剥落下采的速度大于单独用水反冲洗时的速度，气水反冲洗时的K值应为0.071左右。气水同时冲洗时间最好控制在5~6 min左右，然后再用水单独冲洗1~2 min。水冲洗的作用主要是：① 输送污物；② 排除滤层内和配气室内的气体；③ 对于双层滤料，可使滤料间分层。

参 考 文 献

　　1.藤田贤二著，于泮池译．有关快滤池冲洗的各部分的水力学研究(原载日本《水道协会杂志》，1972.8)
　　2.室外给水设计规范(TJl3—74)．中国建筑工业出版社，1974